Clément Poull, doctorant dans l’équipe MG du LIB, soutiendra sa thèse le jeudi 11/12 à 14h, amphi Steinbrunn (Polytech).
Titre : Analyse différentielle de courbes et surfaces fractales.
Résumé :
Pour la représentation numérique de formes, les courbes et surfaces lisses traditionnelles ne suffisent pas à rendre compte de la complexité des objets réels. Les surfaces avec une géométrie non-lisse sont essentielles dans des domaines variés, des applications industrielles telles que le contrôle qualité et la conception assistée par ordinateur, jusqu’à l’informatique graphique, pour la génération de textures et la synthèse de terrains. A l’inverse des surfaces lisses les surfaces rugueuses présentent des propriétés d’irrégularité ou de non-différentiabilité au sens classique, ce qui empêche de les analyser ou contrôler avec les méthodes classiques. Les modèles fractals, en particulier les systèmes de fonctions itérées (IFS), permettent de produire des objets multi-échelles qui génèrent un large éventail de surfaces irrégulières.
Des travaux antérieurs sur les IFS ont défini deux concepts issus de la géométrie différentielle : les pseudo-tangentes et la pseudo-courbure. Ceux-ci étendent la notion classique de tangente et de courbure aux courbes fractales non-différentiables en autorisant des directions tangentes gauche et droite distinctes, ainsi qu’un éventail de valeurs de courbure. Le calcul de cette dernière s’effectue au moyen de la Fonction Caractéristique Différentielle (FCD), une fonction différentiable qui interpole localement une courbe fractale à chaque point de la courbe, et qui, étant différentiable, permet de calculer ses dérivées premières et secondes. Dans cette thèse, nous proposons une approche pour contrôler les pseudo-tangentes d’un type spécifique d’IFS, les Fonctions d’Interpolation Fractale (FIF).
Nous étendons le cadre de la FCD à des IFS de complexité plus élevée et proposons une extension aux surfaces produit tensoriel générées par des IFS: la Fonction Caractéristique Différentielle de Surface (FCDS). Cela permet de calculer des pseudo-courbures analogues aux courbures classiques des surfaces fractales (par exemple, la courbure gaussienne) sur une classe restreinte de surfaces fractales, ainsi que de caractériser de telles surfaces comme étant continues de classe C1 ou C2.