Boris Bordeaux, doctorant dans l’équipe MG du LIB, soutiendra sa thèse le vendredi 7/11 à 10h15, amphi Steinbrunn (Polytech).
Titre : Conception automatique de structures lacunaires fractales
Résumé :
Il existe dans la nature des formes complexes présentant des caractéristiques multi-échelles. Leur géométrie est associée aux fractales, présentant des caractéristiques similaires. La fabrication additive permet le développement de nouvelles approches pour la conception de structures complexes bio-inspirées. Dans cette thèse, nous souhaitons modéliser des structures lacunaires fractales. Se posent alors les questions de leur représentation, manipulation et contrôle. Pour répondre à ce défi, nous exploitons le modèle BC-IFS (Boundary Controlled Iterated Function System), qui permet de coder leur topologie. Il repose sur un processus de subdivision représenté par un automate et sur des contraintes d’incidence et d’adjacence. En revanche, la manipulation et l’exploration des fractales restent un défi. Leur conception consiste à imaginer une forme auto-similaire et à identifier son processus de subdivision pour le coder à l’aide du modèle BC-IFS. Il s’agit donc d’imaginer une forme à partir d’elle-même, ce qui nécessite une certaine habileté et une bonne expérience. Une fois la forme imaginée, il reste à identifier son processus de subdivision et le traduire à l’aide du modèle BC-IFS. Cette dernière étape nécessite de la rigueur et de la minutie selon le nombre de contraintes topologiques. Nous proposons deux approches permettant de concevoir automatiquement des faces fractales (en 2D) en vue d’une future extension à la 3D. La première approche consiste à définir un processus de subdivision générique qui, à partir de paramètres d’entrée, définit une famille de topologies lacunaires multi-échelles. Ce processus repose sur la définition d’une face fractale à partir de ses bords, constitués d’arêtes fractales que nous classons selon leur topologie. La seconde approche consiste à définir automatiquement un processus de subdivision à partir d’un empilement polyédrique cristallographique de cercles. Ces empilements, construits géométriquement à partir de polyèdres, définissent une autre famille de topologies. Nous identifions un processus de subdivision à partir du polyèdre initial. De plus, nous proposons des algorithmes traduisant les processus de subdivision issus de ces deux approches en des représentations topologiques à l’aide du modèle BC-IFS. Nous exploitons ces deux approches, compatibles, pour concevoir des structures fractales par assemblage de faces. Le modèle BC-IFS formalise les contraintes d’adjacence au niveau de l’assemblage, garantissant la cohérence topologique des structures. Nous proposons des règles de conception dans le cadre d’un éditeur topologique accessible à des utilisateurs non spécialistes des fractales. Ensuite, nous proposons une mesure de complexité topologique d’une face fractale, fondée sur l’évolution du nombre de lacunes et de sous-faces au fil des itérations. Cette mesure possède une limite sur l’attracteur, calculable directement à partir de l’automate du BC-IFS. Enfin, nous proposons une généralisation des empilements polyédriques cristallographiques. Les inversions utilisées dans leur construction géométrique correspondent à une subdivision du polyèdre initial. Nous avons exploré d’autres subdivisions de polyèdres pour faciliter l’extension à la 3D dans de futurs travaux.