Résumé :
Les maillages quadrangulés (quads) sont une structure de données
centrale au domaine du traitement automatique de la géométrie, trouvant
des applications en infographie comme en simulation numérique. Une
approche prometteuse pour générer automatiquement des maillages quads de
grande qualité s’appuie sur le fait qu’ils constituent une déformation
de la grille régulière presque partout, excepté en un petit nombre de
points singuliers. Grâce au calcul d’une paramétrisation, à savoir une
représentation planaire, de la surface à mailler, il est possible d’y
tracer une grille qui, reprojetée sur la surface, formera le maillage
désiré. Pour que des quadrilatères puissent être extraits, cette
paramétrisation se doit d’être « sans couture », c’est-à-dire de respecter
un ensemble de contraintes d’alignement sur son bord et ses découpes.
Ces contraintes sont généralement imposées petit à petit dans un
pipeline d’opérations désormais bien étudié, consistant en un calcul de
champ de repères lisse, définissant les futurs points singuliers du
maillage, une phase d’intégration pour obtenir une paramétrisation aux
coutures sans rotation, suivie d’une phase de quantification déterminant
les degrés de liberté en translation.
Nous nous intéressons à l’amélioration des différentes étapes du
pipeline de génération de maillages quadrangulés. En nous appuyant sur
des notions de géométrie différentielle, nous proposons des formulations
du problème évitant les écueils de l’approche actuelle. Premièrement,
nous abandonnons la résolution de problèmes en nombre entier pour
certaines étapes (connue pour être difficiles à résoudre) pour la
remplacer par la minimisation de fonctions objectif continues (bien que
non convexe). Deuxièmement, nous fusionnons certaines étapes du pipeline
en une seule optimisation déterminant en un seul coup les degrés de
liberté correspondants. Cela permet plus de versatilité et de contrôle
utilisateur sur le maillage quad final, et évite les cas d’échecs
classiques causés par l’approche gloutonne du pipeline actuel. Ces
formulations théoriques du problème de paramétrisation sans couture
s’accompagnent d’implémentations pratiques dans lesquelles nous
démontrons la viabilité de nos approches sur une grande variété de
modèles CAO. Finalement, notre travail est en théorie généralisable au
problème plus difficile du maillage hexaédrique, là où les algorithmes
de paramétrisation actuels sont soit uniquement valables pour les
surfaces, soit échouent à produire des résultats de façon robuste.
Bio :
Guillaume Coiffier est actuellement en post-doctorat à l’Université
Catholique de Louvain, dans le projet ERC X-Mesh mené par Jean-François
Remacle et Nicolas Moës, où il travaille sur le maillage d’interfaces
physiques dans les simulations par éléments finis. Il a effectué sa
thèse de 2020 à 2023 au Loria (Nancy) auprès de Dmitry Sokolov et
Etienne Corman. Elle portait sur le remaillage de triangulations en
quadrangulations basé sur des méthodes de paramétrisation de surfaces.