« Definition and characterization of pseudo-curvature for fractal curves »,
Mardi 24 septembre 2024, université de Bourgogne.
La présentation se déroulera devant le jury composé de:
– Mme Géraldine MORIN: HDR, Professeur des Universités à l’Université de Toulouse, Rapporteur
– M. Basile SAUVAGE: HDR, Professeur des Universités à l’Université de Strasbourg, Rapporteur
– M. Mickaël RIBARDIERE, Maître de Conférences à l’Université de Poitiers, Examinateur
– M. Romain RAFFIN: HDR, Professeur des Universités à l’Université de Bourgogne, Président
– Mme Céline ROUDET: Maître de Conférences à l’Université de Bourgogne, Codirectrice de thèse
– M. Christian GENTIL: HDR, Professeur des Universités à l’Université de Bourgogne, Directeur de thèse
Abstract:
Roughness is essential in diverse applications such as industry (friction, wettability, thermal exchange) and computer graphics (generate coherent terrains or textures). Although there are various roughness measures for each application, a general roughness characterization remains difficult to provide. The main properties of roughness are self-similarity and irregularity, which are the properties of fractals. In mathematics, irregularity is characterized by studying the differential properties. In this thesis, we focus on the differential properties of fractal curves defined from an Iterated Function System (IFS). We introduce the Differential Characteristic Function (DCF), a new tool for characterizing and analyzing their differential behavior. We associate a family of DCFs with the fixed point of each operator. We derive the conditions (based on the operator eigenbasis) for the existence of the first and second derivatives at these points. This induces left and right families of DCFs for a dense set of points of the curve, resulting in left and right ranges of curvatures: the pseudo-curvatures. We apply the obtained conditions to define differential constraints to control the C^0, C^1, and C^2 continuity of a fractal curve. These constraints allow the construction of curves with different types of differentiability. Thus, we introduce two new methods: the first characterizes the second-order differential behavior of fractal curves; the second is used to generate fractal curves with desired differential properties.
** Keywords : fractal curves, curvature, irregularity, differential properties, roughness.
Résumé:
La rugosité est essentielle dans diverses applications telles que l’industrie (frottement, mouillabilité, échange thermique) et l’informatique graphique (générer des terrains ou des textures cohérents). Bien qu’il existe différentes mesures de rugosité pour chaque application, une caractérisation générale de la rugosité reste difficile à fournir. Les principales propriétés de la rugosité sont l’auto-similarité et l’irrégularité, qui sont les propriétés des fractales. En mathématiques, l’irrégularité est caractérisée par l’étude des propriétés différentielles. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés différentielles des courbes fractales définies à partir d’un Iterated Function System (IFS) . Nous introduisons la Fonction Caractéristique Différentielle (DCF), un nouvel outil de caractérisation et d’analyse de leur comportement différentiel. Nous associons une famille de DCF au point fixe de chaque opérateur. Nous dérivons les conditions (basées sur la base propre de l’opérateur) pour l’existence des dérivées première et seconde en ces points. Cela induit des familles gauche et droite de DCF pour un ensemble dense de points de la courbe, résultant en des plages de courbures gauche et droite : les pseudo-courbures. Nous appliquons les conditions obtenues pour définir des contraintes différentielles permettant de contrôler la continuité C^0, C^1 et C^2 d’une courbe fractale. Ces contraintes permettent la construction de courbes avec différents types de différentiabilité. Ainsi, nous introduisons deux nouvelles méthodes: la première caractérise le comportement différentiel de second ordre des courbes fractales; la seconde est utilisée pour générer des courbes fractales avec les propriétés différentielles souhaitées.
**Mots-clés : courbes fractales, courbure, irrégularité, propriétés différentielles, rugosité.
