Résumé :
Les q-analogues de nombres sont issus d’une déformation des nombres entiers qui consiste à introduire une variable formelle « q », en remplaçant chaque nombre par un polynôme de telle sorte qu’on retrouve le nombre initial en faisant tendre q vers 1. Cette idée sous-tend par exemple la notion de série génératrice, déjà utilisée par Euler pour aborder des problèmes combinatoires. Une bonne déformation doit ainsi respecter les propriétés structurelles de l’objet déformé. Par exemple, les coefficients binomiaux quantiques introduits par Gauss satisfont une identité de Pascal déformée. En 2020, Sophie Morier-Genoud et Valentin Ovsienko ont proposé une q-déformation des nombres rationnels, qui généralise de manière satisfaisante les propriétés combinatoires des q-entiers. On verra comment définir ces q-rationnels, en donnant trois points de vue équivalents sur cette construction, via des fractions continues, via le graphe de Farey et via une action du groupe modulaire. Dans un deuxième temps, on donnera des interprétations combinatoires de ces q-rationnels reposant sur des comptages dans des triangulations de polygones et dans des ensembles partiellement ordonnés (posets). Si le temps le permet, on pourra illustrer la transversalité des rationnels quantiques en expliquant leur intérêt en théorie des nœuds ou en algèbre commutative.
Short Bio :
Je suis en deuxième année de doctorat dans le laboratoire de mathématiques de Reims, sous la direction de Sophie Morier-Genoud. Je m’intéresse aux q-déformations de nombres, des objets qui apparaissent en combinatoire, en théorie des représentations et en topologie de basse dimension.